matemáticas en acción: Matematica Vital, un paseo matemático por la vida cotidiana


Hoy he tenido el placer de asistir a una amena conferencia/taller impartida por el profesor Fernando Corbalán, profesor de Secundaria en Zaragoza (Aragón) y coordinador del programa “Matemática Vital” del Gobierno de Aragón. El ponente hizo gala de una simpatía y claridad de exposición encomiables. Se trataba de realizar un paseo virtual (emulando los paseos reales que él y su equipo han diseñado en el programa Matemática Vital que coordina) desde que nos levantamos hasta que nos acostamos, parándonos a examinar los objetos y conceptos matemáticos que nos encontramos en nuestro camino entre los objetos de la vida cotidiana.

A lo largo de la exposición el ponente intentó con menos éxito del esperado, todo hay que decirlo, que participáramos un poco en su exposición, pero creo que se debió más al carácter reservado del público que por falta de habilidad del ponente. No obstante, la conferencia estuvo bastante animada. La conferencia nos vino a demostrar que las matemáticas están detrás de casi todos los avances técnicos que podemos disfrutar hoy en día y que consideramos esenciales y además en casi todos los objetos que nos encontramos en la vida cotidiana. ¿Qué sería un mundo sin matemáticas?

Despertar

En el paseo virtual, el primer tema que tratamos fue el tiempo y su medición. Cuando nos levantamos lo primero que oímos es el despertador. El tiempo se mide en horas, minutos y segundos. Un día tiene 24 horas. Una hora tiene 60 minutos. Un minuto tiene 60 segundos. ¿Por qué 60 y no 100? A partir del segundo, las subdivisiones se hacen por milésimas: milisegundo, microsegundo, nanosegundo, etc. Por otra parte un año tiene 12 meses. Las 24 horas de un día se pueden ver como 12 + 12. El número 60 es 12 x 5.

Los sistemas de numeración posicional de base 60 y base 12 han jugado un importante papel a lo largo de la historia y estos números que hemos descrito son vestigios del pasado. Actualmente usamos el sistema de numeración de base 10, con un sistema de representación de los números que tiene origen oriental, en concreto de la India, que luego pasó a los árabes y más tarde a occidente a través de ellos.

La cuestión de la relación entre los sistemas de numeración y la medición del tiempo dio paso a una interesante exposición sobre la historia de los números. La Historia nos dice que lo primero que escribieron los humanos fueron números. Los sumerios son los primeros que tienen constancia escrita de números. La base que utilizaron fue la sexagesimal (base 60) De ahí pasaron a los babilonios, que son famosos por sus escritura cuneiforme.

Si uno reflexiona detenidamente puede ver que el sistema de numeración de base 10 es netamente inferior al sistema de numeración de base 60, ya que al 10 tiene muchos menos divisores que el 60. Esto hace que la representación de fracciones y enteros sea más pobre.

Desayuno

Tras esta interesante discusión sobre las bases de numeración y la representación del tiempo vino otra no menos interesante con el desayuno, la siguiente parada en nuestro paseo virtual.

Actualmente la leche se distribuye en unas cajas de cartón llamadas tetrabriks. Pero el hecho es que los “cartones de leche” no son tetraedros como sugiere su nombre. Esto se debe a que estos envases son la segunda generación de envases de la empresa fabricante, Tetrapak. En la primera generación eran verdaderos tetraedros. Por lo visto esos incómodos y poco ergonómicos envases se siguen vendiendo en algunos países de África.

La parte revolucionaria de Tetrapak, lo que le hizo realmente exitosa y rentable fue la manera que encontró de fabricar esos tetraedros a partir de una hoja rectangular del material del envase, formando un cilindro al que luego se retorcía girando en diferentes sentidos cada uno de sus extremos y cortado por estos extremos.

¿Por qué se desechó este diseño y se pasó al actual? ¡Porque el tetraedro es difícil de empaquetar y meter en una caja! Además la salida del líquido del envase una vez abierto no era la más cómoda. El problema de empaquetar cosas con formas geométricas variadas es un clásico problema geométrico y topológico de llenar completamente un espacio de la forma más eficiente y eficaz posible con figuras geométricas como poliedros regulares. Como es el actual tetrabrik (que se construye a partir de un rectángulo)

En este punto el ponente hizo una interesante observación. Las dimensiones actuales del tetrabrik son 20 x 5,7 x 8,8 cm. Estas dimensiones no son la forma más eficiente (óptima) de almacenar un litro de líquido. Si no tocamos la altura, que está optimizada para que la manipulación del envase sea ergonómica, las dimensiones óptimas son 20 x 6,9 x 7,3 cm aproximadamente, lo cual supone un ahorro de material del 2,5% por envase!

Otra curiosidad sobre los envases es que muchos de ellos siguen las proporciones del llamado rectángulo áureo. Las cajetillas de tabaco son un ejemplo. Las tarjetas de crédito son otro.

Escaleras

Después de ver la fuerte relación entre el diseño de envases y la matemática (el ponente sugirió que el diseño de envases era una profesión muy rentable para un matemático con talento …) la siguiente parada en nuestro paseo son las escaleras que utilizamos para salir de nuestra casa a la calle para ir al trabajo (no utilizamos el ascensor!)

Resulta que existen unas medidas concretas para que una escalera sea “cómoda”, que además están reflejadas en las normas de edificación mediante la siguiente fórmula:

60 < 2C + H = 26

con unidades numéricas en cm. C es la altura del escalón y H la huella (la parte donde se apoya el pie al bajar o subir)

Al salir a colación el tema de la edificación el ponente nos puso un problema/adivinanza. A la hora de poner el roda-pié en una casa … ¿qué relación hay entre la longitud del mismo y la superficie de las habitaciones? Por lo visto ambas cantidades suelen tener casi el mismo valor y los profesionales del ramo suelen tomar esa regla mnemotécnica para calcular el material que necesitan. Matemáticamente esa regla no es exacta y está sobre-dimensionada. Pero viene bien que sobre algo de material por si hay que hacer correcciones o sustituir tramos dañados.

La Calle

Siguiendo con nuestro recorrido, cuando ya estamos en la calle observamos patrones geométricos que llenan espacios bidimensionales y tridimensionales como celosías, frisos, rejas, mosaicos en el pavimento, … Todos ellos son una solución al problema de llenar un espacio, p.e el plano sin dejar huecos. Los mosaicos árabes son un ejemplo bello e impresionante. También algunas de las figuras de Escher, que por lo visto los inspiró una visita suya a la alhambra de Granada.

Para llenar un plano se pueden usar polígonos (p.e las baldosas del suelo son en su versión más básica cuadradas) ¿Se pueden usar todo tipo de polígonos? ¿Deben ser periódicos los motivos o pueden ser también aperiódicos? Por lo visto los polígonos regulares que se pueden usar son los que tienen un número de lados divisor de 360 (2,3,4,5,6, …) Para los mosaicos no periódicos, el matemático Roger Penrose demostró en 1974 que se pueden construir mosaicos aperiódicos (llamados mosaicos de penrose en su honor) con dos figuras llamados el dardo y la cometa.

Pero si miramos al suelo en nuestro recorrido virtual por la calle podemos fijarnos en las tapas de las alcantarillas, casi todas ellas redondas. ¿Por qué son redondas? Porque encajan de cualquier manera (da igual cómo se coloquen) y además no se caen al fondo de la alcantarilla, lo cual puede ser peligroso para el personal de mantenimiento. Esto no ocurre porque cumplen una propiedad geométrica muy importante, el de ser una curva/superficie con anchura constante. La curva de anchura constante con mayor superficie es la circunferencia.

Ante la pregunta de si había más superficies de anchura constante por parte del ponente, todos nos quedamos pensando … algunos de los matemáticos presentes en la sala sabían la respuesta pero el resto no. La respuesta era afirmativa. Una superficie de ese tipo es el triángulo de Reuleaux, que además es la que tiene menor área de toda la familia de curvas, que encabeza la circunferencia. Entre ellas hay una infinidad de curvas de ese tipo.

La historia y aplicaciones de esta figura su muy curiosas. Para empezar, a pesar del apellido, el matemático que la inventó, Franz Reuleaux, es alemán. Según se cuenta le encargaron el diseño de un botón. El botón tiene que ser una curva de anchura constante para poder meterse por el hojal de forma cómoda. Por eso son casi todos circulares. Al él se le ocurrió la figura geométrica que lleva su nombre. En cuanto a las aplicaciones podemos destacar la broca que hace agujeros cuadrados y los motores de los coches mazda.

El triángulo de Reuleaux puede ser generalizado a polígonos regulares de lados impares como es el caso de los heptágonos que son la forma que tienen las monedas británicas. Su diseño las hace ideales para las máquinas tragaperras.

Para construir un triángulo de Reuleaux hay que hacer intersectar tres circunferencias. Para el caso 3D hay que hacerlo con tres esferas, formando en teoría una superficie de anchura contante. Pero el hecho es que la superficie resultante, el tetraedro de Reuleux, NO es de superficie de anchura constante.

Logotipos

Siguiendo de paseo por la calle podemos ver los logotipos de las tiendas de marca, los coches, las empresas, etc. Los logotipos suelen ser un ejemplo de objetos geométricos en los que se pueden ver la simetría, la invarianza (se ponga como se ponga el logotipo se se ve igual), cintas de moebius, … se vieron varios logotipos:

Formas

Pero la calle puede dar mucho más de sí. Podemos ver innumerables formas con propiedades geométricas y mecánicas peculiares. Están por ejemplo las grúas de construcción que son un ejemplo de estructura tetraédrica, que es la más ligera y la más resistente. Los mecanismos de “rombo móvil” como los elevadores. Si miramos debajo de los coches tenemos un mecanismo basado en el mismo principio como es el “trapecio”. Y en el entorno del hogar o el trabajo tenemos los pesacartas (quizá algo pasados de moda en este mundo del correo electrónico)

Y en los patios de juego infantiles tenemos los toboganes, que es un ejemplo de curva cicloide, que se llama así porque es la curva que describe un punto sobre una circunferencia mientras rota sobre una recta. Aquí surgió la pregunta de cuál sería la curva ideal para un tobogán que nos permitiría bajar a la máxima velocidad, lo más rápido posible. La respuesta es una curva con un nombre curioso: curva braquistócrona, que literalmente significa la de tiempo (cronos) más corto (brachistos) Esta curva fue la respuesta a un problema planteado mucho tiempo atrás, y resuelto por Johann Bernoulli que lo publicó en 1696.

Existe otro problema anterior llamado el de la curva tautocrona, literalmente igual (tautos) tiempo (chronos), que hace que los objetos se deslicen y lleguen al mismo tiempo al final de la curva independientemente del lugar de la curva desde la que partan. El problema fue resuelto por Huygens en 1659. Además permitió la fabricación de relojes más precisos ya que representa el péndulo entre dos cicloides. Además su resultado se utilizó para atacar el problema de la curva brachistrocona.

Conlcusión

Al final de la conferencia Fernando Corbalán explicó su experiencia con el programa Matemática Vital, cómo convenció al Gobierno de Aragón para introducir actividades relacionadas con la divulgación de las matemáticas entre los jóvenes y entre el público en general. También explico la creación y diseño de actividades de ocio como las rutas matemáticas por Zaragoza y otras localidades de Aragón que han tenido un éxito indiscutible con miles de personas apuntadas este año, lo que les ha hecho casi morir de éxito ya que requieren un esfuerzo presupuestario y de recursos humanos considerables en una ciudad como Zaragoza y una región como Aragón que sufre las consecuencias de la crisis financiera y de la resaca post-expo (por lo visto se ha invertido casi todo el dinero disponible para este año en el evento …)

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