Taller de Matemáticas: Lo que Euler le dijo al cartógrafo


Hoy he aprendido qué son los mapas, los diferentes tipos de mapas que hay y los parámetros que hay que considerar a la hora de elegir un mapa para una aplicación concreta. Además, he constatado cómo en ocasiones la ciencia mal aplicada se utiliza como medio para medrar, aprovechándose de la ignorancia científica y de la buena fe de las personas y los medios de comunicación.

El tema de la conferencia, ofrecida por el profesor Raúl Ibáñez del Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco, que además es presidente de DivulgaMAT y responsable del ciclo de conferencias de Geometría y Topología en dicha organización creada para la divulgación de las matemáticas, ha versado sobre cartografía y su relación con las matemáticas, a la par que un recorrido histórico muy ameno e interesante de la historia de los mapas, que han supuesto una ayuda muy importante para el desarrollo de la humanidad.

La conferencia comenzó con una definición formal de diccionario de lo que es un mapa. No recuerdo exactamente la definición, pero he buscado en la web de la real academia de la lengua española y he obtenido lo siguiente:

mapa.

(Del b. lat. mappa, toalla, plano de una finca rústica).

1. m. Representación geográfica de la Tierra o parte de ella en una superficie plana.

2. m. Representación geográfica de una parte de la superficie terrestre, en la que se da información relativa a una ciencia determinada. Mapa lingüístico, topográfico, demográfico.

También he buscado en answers.com y he obtenido otras dos interesantes acepciones en lengua inglesa:

map n.

1.

a. A representation, usually on a plane surface, of a region of the earth or heavens.
b. Something that suggests such a representation, as in clarity of representation.

2. Mathematics. The correspondence of elements in one set to elements in the same set or another set.

En ambas definiciones se refleja muy bien lo que es un mapa desde el punto de vista de uso práctico y desde el punto de vista matemático (correspondencia de elementos entre dos conjuntos, en este caso el conjunto de puntos sobre la superficie del globo terráqueo o geoide y el conjunto de puntos en una hoja de papel, que es un plano)

Los mapas se usan y se han usado en multitud de aplicaciones científicas (mostrar datos geográficos, geofísicos, etc. en un artículo científico en National Geographic) y prácticas (ayuda a la navegación) En estas aplicaciones se hacen preguntas como, ¿cuál es el camino más corto entre dos puntos?, o, ¿cuál es el rumbo correcto que debo tomar para llegar a un sitio a partir del punto en donde estoy?, o, ¿cuál es la distancia entre Madrid y Nueva York? La respuesta en la representación real de la tierra y su proyección en un plano pueden no coincidir. El camino más corto en el geoide es una sección de un círculo máximo y en el mapa (plano) es una recta. La distancia depende de la escala. Si uno se fija en un mapa y calcula la distancia midiendo la recta que une dos ciudades y multiplicando por la escala y se va a Internet y consulta la distancia los valores no coinciden. Si hace lo mismo con la sección del círculo máximo sobre el geoide tampoco coincide, ¿por qué? Si se fija en un mapa y ve la superficie que ocupa groenlandia y la que ocupa áfrica, ve que son muy parecidas cuando en la realidad sabemos que áfrica es mucho más grande, ¿qué demonios está pasando aquí?

La respuesta está en la geometría, my friend. Esta rama de las matemáticas se ocupa de las formas de los objetos en los espacios de una o varias dimensiones y de sus medidas, de sus métricas. Las longitudes, las áreas, las escalas, son objeto de su estudio. Puesto que un mapa es una proyección de una realidad en tres dimensiones, la superficie de un geoide que es nuestro planeta tierra, en un plano de dos dimensiones, que es una hoja de papel, las imperfecciones que hemos descrito en el párrafo anterior se explican porque en el proceso de proyección no se preservan (de alguna manera se deforman) las distancias, las áreas, los ángulos y la escala. Dependiendo de la aplicación para la que empleemos el mapa, esto puede ser un desastre o no tener importancia. Se han propuesto un montón de proyecciones a lo largo de la historia. Hay un libro de recomendada lectura en el cual se pueden ver todas con su correspondiente explicación matemática de la mano de un eminente cartógrafo norteamericano llamado John P. Snyder. Su título: Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map (ver Google Books y Amazon)

A partir de todo lo que hemos visto, el ponente se preguntó y desarrolló las siguientes preguntas:

(1) ¿qué significa dibujar correctamente un mapa?
(2) ¿Existe una manera correcta de dibujar (proyectar) un mapa?

Para esto utilizó aproximaciones de la geometría clásica a la geometría diferencial (que es la que proporciona de forma rigurosa las respuestas a esas preguntas)

La respuesta a la primera pregunta es que dibujar correctamente un mapa implica preservar las propiedades métricas del original, la esfera (ideal del geoide) en el plano: las formas, el área, los ángulos (esencial para determinar rumbos, por ejemplo), etc. al realizar la proyección de la esfera en el plano.

La primera cosa que se nos puede ocurrir es utilizar directamente las imágenes por satélite o las fotos tomadas desde el aire. Pero pronto nos damos cuenta de que no preservan el área. A partir de aquí el ponente desarrolla, una a una, la posibilidad de preservar tres métricas importantes: la distancia, el área y los ángulos mediante alguna proyección especial, de las propuestas históricamente. Y aunque demuestra que más o manos se puede conseguir preservar una, con algunas imperfecciones, no es posible preservar todas a la vez. Es decir, que no existe mapa perfecto. Algo que por cierto demostró el genial Euler en 1778. Los detalles de cada demostración los iré poniendo en comentarios a este artículo a partir de las notas que he tomado.

Así pues la única representación fidedigna es la del geoide (literalmente, “la forma que tiene la tierra) Pero esa representación no es manejable como realización física con un mapa, así que se inventaron todas las proyecciones que se comentaron en la conferencia, cada una con una característica especial de preservación de una métrica, dependiendo de su aplicación (p.e los ángulos y los rumbos en mapas de navegación marítima, el área para representaciones geográficas científicas, etc.) Todas tienen sus imperfecciones, que deben ser tenidas en cuenta y convivir con ellas a la hora de utilizar los mapas. La conclusión es que se debe utilizar el mapa adecuado para cada aplicación. Se comentaron también muy por encima otras representaciones como la del firmamento o las trayectorias de meteoritos en su entrada a la atmósfera o incluso la representación de otros planetas como marte a partir de las fotos tomadas por las sondas, que lo que hacen en realidad es proyectar los datos obtenidos por sus sensores de la superficie del planeta en un plano, dando como resultado la “foto” que se muestra (algo que también hacen los satélites de observación de la tierra)

No obstante hubo un personaje que intentó convencer al mundo de que todos los mapas que se habían desarrollado en la historia eran basura, además de ser “racistas” ya que representaban a Europa de forma central (especialmente el de mercator), y que el suyo (Gall-Peters Projection) era el único que representaba de forma “justa” la superficie de la tierra. Se llama Peters y fue portada durante un montón de tiempo debido a que las organizaciones sociales no gubernamentales de renombre y hasta la ONU aceptaron sus tesis acientíficas y tendenciosas.

Un comentario en “Taller de Matemáticas: Lo que Euler le dijo al cartógrafo

  1. Gracias por plasmar parte de tus notas en este espacio. Me han sido de gran utilidad para enteder ciertos detalles de la creación de mapas…
    Ciau…

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