taller de matemáticas: matemáticas en movimiento


La interesante conferencia de hoy ha versado sobre las matemáticas utilizadas para dotar de movimiento a los gráficos por computador, es decir, a la animación gráfica por computador. Se ha hablado de las fractales, de su relación con las formas naturales y de su utilización animada (animación de fractales en 2D y 3D) para realizar las llamadas Demos, pequeños programas escritos en código máquina que aprovechan al máximo el procesador, almacenamiento y capacidad gráfica de los computadores. Estas pequeñas joyas computacionales y artísticas surgieron en una época en la que los incipientes computadores personales tenían severas limitaciones hardware y dieron lugar al movimiento Demoscene. También se han tratado técnicas de animación más simples y más sofisticadas (lookup tables, funciones, etc) Se han mostrado unas cuantas animaciones en tiempo real y pregrabadas para demostrar todos los conceptos.

NOTA He hecho una pequeña búsqueda de este interesante movimiento de demoscene en Google, en imágenes de google y Youtube.

En la presentación del ponente, Javier Barrallo, los organizadores del ciclo de conferencias del taller de matemáticas indicaron su experiencia en el campo de las artes y las matemáticas (el es miembro de un departamento de matemáticas en una escuela de arquitectura) y su participación en la exposición itinerante de arte fractal (que estuvo en Cantabria recientemente, creo que en el CIEM de Castro Urdiales) organizada por DivulgaMAT, en donde además es responsable de la sección de Arte y Matemáticas (que por cierto tiene una exposición virtual en la web) Los organizadores del ciclo le conocieron en el encuentro de matemáticos que hubo hace dos años en Madrid, el ICM 2006 en donde realizó una demoscene titulada Paradise.

El ponente empezó hablando de la geometría fractal y su historia desde una simple curiosidad matemática hasta su formalización por parte de Mandelbrot en los años sesenta. Este brillante matemático lo popularizó las fractales en un famoso artículo en la revista Science el 5 de mayo de 1967 donde se preguntaba qué longitud tenía la costa de Gran Bretaña.

Seguidamente se hizo evidente la relación entre la geometría fractal y las formas rugosas que se encuentran en la naturaleza. Esta fue la visión del hombre primitivo (con excepciones quizá en las frutas con su forma esférica o ciertas rocas cristalinas …) Los artistas, mucho antes que los matemáticos, descubrieron esa relación. Algunos pintores de oriente, en concreto de Japón, como hokusai, fueron los primeros en darse cuenta que para representar fenómenos e la naturaleza había que hacer numerosas repeticiones a diferentes escalas de un patrón. Mucho más tarde algunos pintores europeos también describieron este proceso para crear imágenes naturales más creíbles. Un ejemplo clásico de un objeto natural fractal, el más perfecto que se ha encontrado, es el broccoli. El ponente mostró cuatro fotos a diferentes escalas de esta planta y casi no se podían distinguir. Es el ejemplo más evidente de la autosimilaridad de los objetos fractales. Este hecho hace que un simple zoom a un objeto de este tipo pueda servir como una primera y sencilla animación fractal. El ponente pone ejemplos de este tipo de animaciones, uno de ellos combinados con música de danza.

Una característica curiosa de este tipo de animaciones es su bajo coste computacional (debido a la autosimilaridad) Y pone un ejemplo de una animación hecha con 4 KB y otras mínimas de 256 Bytes. Son un exponente claro de la época dorada de la Demoscene, pequeñas piezas de arte realizadas en código máquina, con mínimo uso de recursos (en la época en que se realizaron los computadores tenían muy pocos recursos) Para realizar estas mini joyas se utilizan técnicas y trucos como las de precalcular las funciones trigonométricas en look-up tables, la utilización de números enteros como aproximaciones (ya que son mucho más eficientes de generar y procesar), mallas triangulares con texturas, metaballs, los Frames per Second (que deben tener un mínimo de 25 FPS para ser realista), etc.

Otras técnicas más sofisticadas para animar fractales en 2D son las líneas de animación mediante Inverse Complex Julia Algorithms. El ponente mostró con un programa (del que desgraciadamente no anoté el nombre) como a partir de una trayectoria dibujada con un ratón se podían controlar los parámetros de generación de un conjunto de julia (ver también wikipedia) de forma interactiva y grabando esa trayectoria (que podía ser curvilínea y a ser posible analítica o paramétrica) se podía definir una escena de animación.

NOTA: El ponente indicó aquí que Gaston Julia tenía orígenes catalanes por parte de padre … :)

Seguidamente el ponente extendió este concepto de animación fractal a 3D en donde se manejan tres o cuatro parámetros del objeto fractal. Son los llamados quaternions (en este caso fractales) Puso dos ejemplos impresionantes de este tipo de animación en el que se incorporan movimientos de cámara, iluminación y texturas. Yo he podido encontrar algunos en Internet.

Una técnica alternativa de animación, no relacionada en principio con la anterior y que también comentó es el movimiento de partículas (billboard particles) entendiendo como tales a objetos gráficos simples (p.e esferas u objetos geométricos) con posición y orientación. Esta técnica permite, con un coste computacional bajo, realizar sorprendentes efectos. De hecho es una técnica no solamente utilizada en demoscene sino también en muchos videojuegos (incluidos los modernos de la PlayStation)

Otra técnica de animación es el uso de funciones matemáticas, en muchas ocasiones paramétricas, para crear determinados efectos y pone como ejemplos la creación paramétrica de una mariposa (de manera que esta sea en cierta forma invariante a la escala a efectos de animación)

Como ejemplo final nos pone la demo de paradise del ICM 2006 (del que hemos hablado al principio) donde se pueden ver todas las técnicas explicadas (por ejemplo se puede observar la mariposa animada, la animación de la respiración de unos rinocerontes con funciones exponenciales, la simulación de hierba con billboard particles, etc.)

6 comentarios en “taller de matemáticas: matemáticas en movimiento

  1. Se me ha ocurrido que la geometría fractal está presente en muchos salvapantallas, especialmente en Linux. Puesto que está disponible el código fuente de estas pequeñas maravillas puedo estudiar en detalle como se generan estos objetos.

    También durante la conferencia se me ha ocurrido si no se podría aplicar la geometría fractal al diseño de circuitos electrónicos o incluso al diseño a nivel molecular (nanotecnología) de dispositivos mecánicos (MEMS) o electrónicos …

    Y ya puestos creo recordar que existe una relación entre los fractales, la computación evolutiva y el arte …. pero simplemente es como un flash de alguna presentación de este ciclo, pero del año pasado (repasaré mis notas y tal vez ponga también algunas entradas de las presentaciones del año pasado del taller de matemáticas …)

  2. Por cierto, en la conferencia se citó a Edward Lorenz, padre de la teoría del caos y recientemente fallecido. He recopilado información en inglés y español:

    Edward Lorenz Obituary

    Edward Lorenz y la Teoría del Caos. mi+d weblog complejidad.

    HA FALLECIDO A LOS 90 AÑOS. Edward Lorenz, padre de la teoría del caos. Obituarios de El Mundo.

    Muere a los 90 años Edward Lorenz, padre de la ‘teoría del caos’.
    Sus conclusiones abrieron un nuevo campo de estudio en meteorología y otras ciencias. ELPAIS Sociedad

  3. Hoy me he topado en YouTube con un vídeo de una conferencia de Google Talks que trata sobre un entorno de simulación de vida artificial llamado Polyworld. En la introducción de la presentación se pone un vídeo de criaturas en movimiento con estructuras corporales desarrolladas con algoritmos evolutivos que son idénticos a los que nos pusieron en la conferencia :)

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