Sábados de la Ciencia: un extraño paseo de la mano de Möbius


Hoy, dentro de la serie de sábados de la ciencia, se ha hablado de matemáticas. En concreto, de temas relacionados con una rama de las matemáticas llamada topología. La topología estudia las formas geométricas en todas las dimensiones y sus transformaciones elásticas desde el punto de vista cualitativo, es decir sin utilizar métricas (como hace la geometría)

La conferencia, demás de presentar conceptos y problemas topológicos de una forma amena y didáctica, se proporcionó material para experimentar in situ algunos de los conceptos. Se habló también de cuatro matemáticos que han contribuido a la formación de esta rama de las matemáticas: Euler (con su problema de los siete puentes de Königsberg, que dio lugar a la teoría de grafos), Gauss (con su teoría de curvas y superficies, planteada a los 19 años), Listing (que acuñó el término de topología, discípulo de Gauss y profesor de Riemann), Möbius y Klein.

No dio tiempo a tratar en profundidad los temas desarrollados por Gauss (curvatura de Gauss y coloreado de mapas) Al final se ofrecieron lecturas interesantes, bibliografía y hasta una obra de teatro, con la que ampliar conocimientos.

La conferencia fue impartida por Mario Fioravanti, un científico argentino de origen italiano que trabaja de profesor e investigador en la Universidad de Cantabria en los campos de la geometría y la topología.

Caminos y superficies

La conferencia comenzó explicando que el mundo que vivimos es más o menos una esfera sobre la cual nos podemos mover. Así si una persona parte de un punto sobre la esfera y sigue por ejemplo la línea de un meridiano acaba por llegar al mismo punto de partida. Si dos personas parten del mismo punto de la esfera, al mismo tiempo, y siguen dos trayectorias perpendiculares (uno sigue un meridiano y otro la línea del ecuador, por ejemplo) y van a la misma velocidad se van a encontrar por dos puntos sobre la esfera, siendo el segundo punto, el punto de partida.

Una vez establecida la geometría de la esfera, se especuló sobre la posibilidad de que existiera un mundo que no fuera esférico, cuya geometría permitiese que dos amigos estuvieran en un punto de su superficie y uno de ellos partiera de ese punto y pudiera acabar en la misma posición que el amigo que se queda quieto pero boca abajo. El conferenciante hizo una demostración de que esto era posible con un objeto topológico que resultó ser una cinta o banda de Möbius. De hecho tendría que seguir un poco más para llegar al punto de partida. También especuló sobre la posibilidad de que los amigos hicieran lo mismo que en el caso anterior y volvieran al punto de partida pero no se cruzaran. Esa superficie es un objeto topológico llamado Toro.

El primer objeto topológico tiene una sola cara (también llamado no orientable) y un solo borde. El segundo es un objeto topológico que no tiene bordes, tiene dos caras y tiene un agujero. La rama de las matemáticas que estudia esto es la topología. Para la topología lo importante es el objeto independientemente de sus estiramientos y deformaciones. El ejemplo que expuso el ponente con una goma elástica es un círculo y un cuadrado. Es un mismo objeto topológico. También una taza y un toro es el mismo objeto topológico. Además las medidas del objeto no se tienen en cuenta. Solamente importan cualidades como el número de bordes que tiene, el número de caras, el número de agujeros, etc. La topología tiene una manera de representación matemática plana consistente en líneas de colores con flechas que indican la presencia o no de bordes y el sentido en el que se unen.

Möbius, Listing, Klein y la topología

La cinta de Möbius debe su nombre a un matemático llamado August F. Möbius (1790-1868), discípulo de Gauss. Aunque en justicia el mérito del estudio de objetos de una sola cara se debió a Johann B. Listing (1808-1882), también alumno de Gauss (del que se habló más adelante) Se mostraron figuras de la cinta de Möbius, una de ellas muy famosa del artista gráfico Maurits Cornelis Escher, que se interesó por los temas topológicos, en donde se ve una cinta de Möbius transitada por unas hormigas.

Otro objeto topológico muy interesante es la botella de klein, nombrada del matemático Felix Klein (1849-1925), un matemático que hizo contribuciones a la teoría de funciones, relación entre álgebra y geometría, teoría de grupos y geometría no euclidiana (en la que posteriormente se basó la teoría de la relatividad general) Si es estudia en detalle la botella se verá que es un objeto topológico con una sola cara (no hay dentro ni fuera) El hecho de que se intersecte consigo misma es un efecto de nuestro mundo en tres dimensiones .. además si se parte por la mitad lo que se obtiene son dos cintas de Möbius (!)

Experimentos con …. cintas de papel

Tras estas explicaciones empezó la parte más interesante: la parte práctica. Se repartió una carpeta con recortes de papel especialmente diseñados, una rollo de cinta de celofán y unas tijeras. Se hicieron dos bloques de experimentos.

En el primer bloque se trabajó con el concepto de bandas de Möbius:

1. Con una tira de papel construimos un cilindro.

¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene?

NOTA: Para esto se coge una cinta de papel y se curva hasta unir sus vértices y se pegan con una tira de celofán. Se ve que tiene dos bordes (por lo que se puede hablar de arriba y abajo) y dos caras (por lo que se puede hablar de interior y exterior) Además si hacemos un esfuerzo de imaginación (ya que la tira de papel no es lo suficientemente larga …) y se unen los extremos con los bordes, ¿qué se obtiene? ¡Un toro! :-)

2. Con una tira de papel construimos una cinta de Möbius.

¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene?

NOTA: Para esto se coge una cinta de papel y se curva hasta unir sus vértices, pero esta vez, antes de pegarlos con una tira de celofán, se da un giro de 180º a uno de los vértices. Podemos comprobar que tenemos un borde y una cara. Para cerciorarnos podemos coger un rotulador y dibujar una línea por el centro y/o el borde de la superficie y veremos que no despegamos el rotulador de la superficie hasta llegar al punto de partida de la línea.

3. Cortamos el cilindro que hemos hecho por la parte central de su cara externa.

¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Cuántas caras y bordes?

NOTA: Se obtienen dos cilindros independientes, cada uno con sus dos caras y sus dos bordes.

4. Hacemos lo mismo con una cinta de möbius (en la carpeta tenemos una cinta de papel con una línea de puntos por el centro)

¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Cuántas caras y bordes?

NOTA: Obtenemos una cinta de möbius solo que más grande (con un perímetro mayor)

5. Hacemos una cinta de möbius en la cual se tienen dos líneas de puntos a distancias equidistantes del borde. La cortamos primero por una línea y luego por la otra.

¿Qué se obtiene? ¿Hemos obtenido alguna banda de Möbius?

NOTA: Obtenemos dos cintas entrelazadas, una de möbius.

Una vez terminados estos entretenidos experimentos pasamos a hacer otros con cintas de papel dispuestas en cruz, con las que obtenemos resultados más sorprendentes.

1 Con una tira en cruz (con una línea en el medio) unimos las aspas opuestas formando dos cilindros. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie?

NOTA: Tenemos dos cilindros unidos por la cara de fuera. Luego tiene cuatro caras, cuatro bordes y dos agujeros.

Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?

NOTA: Pues una superficie con dos caras, cuatro bordes y un agujero … ¡un marco!

2 Con otra cruz similar, unimos dos de las aspas formando un cilindro y las otras dos formando una banda de möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie?

NOTA: Tenemos un cilindro pegado a una cinta de Möbius. Luego tenemos tres caras, tres bordes y dos agujeros.

Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?

NOTA: Dos cintas de Möbius separadas (?)

3 Con otra cruz similar, unimos los dos pares de aspas formando bandas de Möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie?

NOTA: Pues tenemos dos cintas de möbius pegadas, dos caras, dos bordes y dos agujeros.

Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene?

NOTA: Se obtienen dos superficies topológicas equivalentes a dos marcos, pero que se pueden poner en forma de corazón, con dos caras y dos bordes cada una y con la particularidad de que algunas salen unidas y otras separadas, dependiendo del sentido hacia el que se giraron las cintas para formar las bandas de Möbius!

4 Usamos ahora la cruz que tiene un par de aspas divididas en tres partes (por líneas de puntos) y el otro par por una línea. Unimos el par de aspas con una sola línea formando un cilindro y el par de aspas con dos líneas formando una banda de Möbius.

Cortamos por las líneas, empezando por la banda de Möbius.

¿Qué se obtiene?

NOTA: Un marco y una cinta de Möbius entrelazadas.

Curvas, Superficies y coloreado de mapas

Tras esto pasamos a tratar de puntillas otros temas topológicos como la curvatura y el coloreado de mapas. Esos temas fueron planteados por Gauss, uno de los matemáticos más importantes de la historia, que hizo contribuciones a muchos campos de la matemática (teoría de números, probabilidades y estadística, geometría diferencial, etc.), la astronomía y la física (en aquella época los científicos tocaban muchos palos de la ciencia a la vez)

Se contaron anécdotas de la precocidad de Gauss como el conocido episodio del problema que puso el profesor a los alumnos, entre los que se encontraba el genio, de sumar los números que van del 1 al 100. Gauss se dio cuenta de que si ponía en dos columnas los números del 1 al 100, una en orden ascendente t la otra en orden descendente en todos los casos la suma de cada fila daba 101. Si sumaba los números de todas las columnas tenía que dos veces la suma era igual a 100 veces 101 por lo que halló inmediatamente la suma.

También consiguió determinar qué polígonos regulares se podían construir con regla y compás, un problema que venía desde antiguo. Además planteó la teoría de las superficies y las curvas (geometría diferencial) Determinó que en una curva cualquiera la medida de la curvatura es 1/r siendo r el radio de la circunferencia que encaja con la curva. Si r aumentaba, había menos curvatura. Si r disminuía, había más curvatura. Este concepto lo extendió a superficies, realizando cortes de dichas superficies con planos perpendiculares a las mismas y luego analizando la curva que se forma en el punto de intersección entre superficie y plano, usando el encaje de la circunferencia para definir la curvatura. La Curvatura de Gauss es el producto de la curva más grande y la más pequeña. El resultado tiene un signo en función de hacia dónde se curva (p.e una silla de montar y un cilindro)

El problema de coloreado de mapas consistía en demostrar cuántos colores se necesitaban para colorear un mapa de manera que superficies cerradas contiguas (con más de un punto de contacto) tuvieran colores distintos. El problema se planteó en 1840 por parte de Möbius de manera diferente:

Había una vez un rey que tenía cinco hijos. En su testamento pidió que a su muerte su reino se dividiera en cinco regiones, de modo tal que cada región tuviera frontera en común con las otras cuatro.

y hasta 1976 no se logró una demostración por parte de dos científicos Appel y Haken, que no fue ampliamente aceptada porque utilizaba un computador para hacer la demostración. En una superficie plana o una esfera se demuestra que con cuatro colores máximo (teorema de los cuatro colores) es suficiente. Sobre una banda de Möbius son como máximo seis colores. Sobre un toro, como máximo siete colores. Para resolverlo demostrarlo hay que utilizar la teoría de grafos. :)

¿Y sobre una superficie en forma de botella de Klein?

3 comentarios en “Sábados de la Ciencia: un extraño paseo de la mano de Möbius

  1. Se me olvidaba mencionar la bibliografía y las lecturas recomendadas que el ponente expresó en su conferencia. En lo que respecta a las lecturas interesantes, el ponente recomendó vivamente tres libros:

    Planilandia: una novela de muchas dimensiones. De Edwin Abbott. Editorial Torre de Viento. Una novela de 1884 muy didáctica que no ha perdido ni un ápice de vigencia.

    El teorema del Loro, por Denis Guedj. Editorial Anagrama. Una novela detectivesca en la que se mezcla el misterio y las matemáticas.

    – Matemáticas, ¿estás ahí?, de Adrián Paenza. Editorial Siglo XXI. Es una serie de libros de este matemático y divulgador argentino que tratan de forma muy amena diferentes aspectos de las matemáticas.

    La bibliografía que ha utilizado el ponente ha sido la siguiente:

    – Barr, Stephen, Experiments in Topology, New York, 1964.

    – Blanco, Miguel; Ruiz, Andrés; Corchete, Abilio; Taller de Matemáticas, Junta de Extremadura, Consejería de Educación y Juventud, Mérida, 1998.

    – Polthier, Konrad, Imaging maths – Inside the Klein bottle, Plus Magazine 26, 2003

    – Weeks, Jeffrey, The shape of space, Marcel Dekker, New York, 1985.

    – Rodriguez, J., Un paseo por la topología en la red.

    The , MacTutor History of Mathemathics Archive by John J. O’Connor and Edmund F. Robertson University of Saint Andews.

    Finalmente el ponente indicó que existe una obra de teatro que utiliza un tema topológico para urdir una trama vital que se representa en la obre:

    La banda de Möbius de Alain Girodet.

  2. Buscando por la red he encontrado material audiovisual relacionado con las cintas de Möbius y experimentos realizadas con ellas. En ambos casos he realizado una búsqueda en Google. La primera búsqueda que he realizado es de imágenes relacionadas con la cinta de Möbius. La segunda búsqueda la he realizado de imágenes relacionadas con experimentos con cintas de Möbius. La tercera búsqueda es sobre vídeos relacionados con experimentos con cintas de Möbius (que ha dado resultados muy interesantes, que me han inspirado a pensar que yo puedo hacer un vídeo o una serie de vídeos parecidos)

    Al hilo de esto he experimentado con la búsqueda con otro buscador, el MSN Live Search. He buscado imágenes y páginas web (no he visto que se puedan buscar de manera específica vídeos) relacionadas con experimentos con cintas de Möbius.

    Finalmente indicar, que he encontrado un blog, el blog de Robert Krampf, en el que se tiene una colección de experimentos de ciencia muy interesantes.

  3. Creo que al cortar una cinta de möbius por el “centro”, se obtiene efectivamente una cinta más larga, pero que NO es de möbius, ya que la obtenida si tiene 2 caras distintas, y 2 bordes (aunque tiene un “loop” en su recorrido).

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s