taller de matemáticas: el binomio Matemáticas-Técnicas de transmisión de la información: 60 años de una sinergia exitosa


La conferencia de hoy (ver transparencias) ha sido una exposición muy clarificadora de la relación histórica que existe entre las matemáticas y las telecomunicaciones, de la difícil comunicación entre matemáticos e ingenieros y de cómo, a pesar de todo, esa comunicación, ayudada por científicos con visión de ambos campos, a propiciado los avances más significativos de la tecnología de la transmisión de la información y su implementación en ingenios, que son la base de la sociedad de la información actual. La conferencia ha sido impartida por por el Profesor Luis Muñoz del Departamento de Ingeniería de Comunicaciones de la UC.

La conferencia comenzó con una introducción en la que el ponente puso de manifiesto como la ciencia y la ingeniería, y las matemáticas y la ingeniería de telecomunicaciones en particular, han chocado de forma histórica debido la aparente dicotomía entre enfoque riguroso de la matemática y a la creatividad e ingenio de los ingenieros. El caso es que el rigor intelectual no está reñido con la intuición. Se puede establecer y se ha establecido una colaboración fructífera en ambos sentidos.

La relación entre matemáticas y telecomunicaciones no es una cosa que solamente se haya visto fuera de España. Por lo visto, en la Universidad Politécnica de Catalunya se dieron cuenta de esa simbiosis, esa posibilidad de interacción entre los dos campos y crearon una carrera mixta llamada TelecoMat, en la que el alumno puede desarrollar indistintamente su perfil riguroso de la matemática y el perfil creativo de la ingeniería.

Otro claro ejemplo histórico de la sinergia y las dificultades descritas, e hilo conductor de la conferencia fue el paper publicado por Claude Shannon: A Mathematical Theory of Communication en Octubre de 1948 en el Bell System Technical Journal. Este gran científico, que ha muerto recientemente de la enfermedad de alzheimer, era matemático e Ingeniero. En la época de publicación, el paper no fue comprendido por los ingenieros debido a que explicaba la teoría de la información pero no detallaba como llevarla a la práctica. No era una teoría constructiva. Suponía un cambio radical en la manera de pensar que estaba en conflicto con la intuición del ingeniero. El transmisor y el receptor jugaban ambos un papel importante en la supresión del ruido (que era consecuencia de la imperfección del canal) y el ruido en el canal limita la velocidad de transmisión pero no la tasa de error alcanzable.

En el caso de Shannon, se dio además la circunstancia de que la ciencia estaba afectada por la división entre este y oeste, el principio de la guerra fría, el bloque soviético y el bloque occidental, que vio de muy diferentes maneras su trabajo, siendo despreciado en occidente:

“The discussion is suggestive throughout, rather than mathematical and it is not always clear that the author’s mathematical intentions are honorable”. Joseph Leo Doob; Gran teórico del cálculo de probabilidades.

y ensalzado en el entonces denominado bloque soviético:

“Shannon’s mathematical intuition was amazingly precise. He can be ranked as both of the leading mathematicians and one of the leading engineers of this time”. Amdrey Kolmogorov.

Se dice, no obstante, que Kolmogorov había llegado por su cuenta a una teoría similar, aunque no lo había publicado y que por lo tanto podía apreciar más el fino trabajo intuitivo y riguroso de Shannon.

El caso es que el paper de Shannon convirtió el mundo bidimensional de los ingenieros (ancho de banda y potencia) en un mundo tridimensional, en el que la nueva dimensión era el proceso necesario para optimizar la transmisión. Pero como la teoría expuesta no era constructiva supuso una desilusión para los ingenieros que no entendían como una teoría fundamental no tenía como objetivo construir algo. Era como demostrar que había una aguja en el pajar pero no decir cómo buscarla ni en qué zona.

Shannon es un visionario que indica el camino de qué se puede hacer, pero no dice cómo (algoritmo) ni tampoco con qué (dispositivos electrónicos) Realiza una gran avance conceptual que no puede ser realizado tecnológicamente ni tampoco hay base teórica sobre la que desarrollarlo. Hay que tener en cuenta que el transistor se descubre el mismo año de publicación de su paper en 1948 y que los circuitos integrados van a tener que esperar. Existen unas dificultades tecnológicas insalvables. Pero esto no es un caso aislado. El ponente pone un ejemplo de la implementación de la Pulse Code Modulation (PCM) en EEUU en 1962 a partir de una patente francesa hecha por un británico (Reeves) en 1939.

Las carencias teóricas además de las tecnológicas van a suponer un avance muy lento en el desarrollo de la teoría de la información. La demostración indirecta de Shannon del estudio, en media, de todos los decodificadores, escogiendo decodificadores aleatoriamente y de gran longitud estaba bien para demostrar teoremas pero no para traducir mensajes.

Sin embargo, el hecho de saber que había una aguja hizo surgir una firme determinación de encontrarla. Estaba claro que había que meter algún tipo de redundancia para poder realizar comunicaciones más robustas que superaran en handicup del ruido del canal. El primer invento vino de inmediato, en el mismo año 1948, de la mano de Richard Hamming, un matemático. Propuso un método para corregir un error en cadenas de 2m – 1 bits (m: parámetro) sacrificando alguno (r=m) de los 2m – 1 bits para indicar la posición del error. Si se querían corregir más errores había que sacrificar r > m. Las siguientes preguntas parecían obvias: ¿Cuántos? ¿Cómo seleccionar las filas binarias a añadir a la matriz de comprobación? Pero los matemáticos ignoraban el tema y se dejó todo en manos de ingenieros. Esto provocó un parón de 10 años.

No fue hasta 1960 cuando el trabajo de tres matemáticos Bose, Chaudhuri and Hocquenghem dio como fruto los códigos BCH. Había nacido la teoría de codificación. La idea era utilizar campos de Galois, una teoría desarrollada mucho tiempo antes por Évariste Galois, procedente del álgebra lineal, que se había abandonado prácticamente con la muerte (trágica) el autor y revivió con la aplicación ingenieril. Por fin el álgebra lineal había encontrado una aplicación práctica.

Quedaba el problema de la decodificación. Los matemáticos no sabían de que se hablaba. Pero el álgebra moderna ya había entrado antes en el tema. El hombre a buscar era David Slepian. Este propuso una tabla, que es una visualización gráfica del teorema fundamental del álgebra (en Francia, el Teorema de D’Alembert)

A partir de 1960 se producen desarrollos vertiginosos liderados por las matemáticas: códigos Reed-Solomon (utilizados por las sondas de la NASA, los CD/DVDs, la televisión digital, …), que utilizan como símbolos no códigos binarios sino elementos dentro de GF (2m) con r mínima para una t dada. La decodificación era la parte complicada. Pero tenían tanta confianza en poder encontrar una manera eficaz que los de la NASA lanzaron las sondas sin saber como decodificar de forma eficiente los mensajes que recibían hasta que en 1968 E. Berlekamp dio con una solución.

Resultó además que de las diversas formas de generar polinomios generadores de los campos solamente algunos eran los más eficientes desde el punto de vista de implementación en hardware. Aquí el ingenio de los implementadores, los ingenieros, fue fundamental.

La codificación de canal (detección y corrección de errores y protección de la información contra dichos errores producidos por las imperfecciones del canal), una derivada de la teoría de la codificación se usa de manera masiva en todo tipo de transmisión de la información desde la transmisión de telemetría e imágenes de sondas espaciales, pasando por la transmisión de datos y voz en comunicaciones móviles e inalámbricas hasta llegar a los lectores de DVD. Además la codificación ha avanzado hasta alcanzar los límites marcados por Shannon en su famoso paper.

Existen otros ejemplos de otros campos matemáticos como la teoría de grafos (distribución de estaciones de telefonía móvil como un problema de coloreado de grafos) y la teoría de juegos (escenario de competición entre varios operadores de telefonía móvil compartiendo infraestructuras, con información uno de otro, …) que también están teniendo aplicaciones en telecomunicaciones, conformando de forma permanente la simbiosis entre matemáticas y telecomunicaciones.

3 comentarios en “taller de matemáticas: el binomio Matemáticas-Técnicas de transmisión de la información: 60 años de una sinergia exitosa

  1. ola megustan muchos las matematicas voi en tersero de
    secundari y tengo varias diplomas en
    avilidades matematicas me gustan mucho y quiero ser
    maestro de matematicas vay y quevivan las matematicas

  2. por las matematicas estoy repitiendo pero el repetir octavo me ha yudado mucho pork ahora me comiensa agustar la matematica de verdad y palante con la matematica

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